Zgjidh {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-3y=28$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=3y+28$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{3y+28}{5} në ekuacionin tjetër, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Shumëzo 12 herë \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Mblidh \frac{36y}{5} me 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Zbrit \frac{336}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{56}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Shumëzo \frac{3}{5} herë -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Mblidh \frac{28}{5} me -\frac{18}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=-6$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=-6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 12x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 12 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Thjeshto.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Zbrit 60x+20y=0 nga 60x-36y=336 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Mblidh 60x me -60x. Shprehjet 60x dhe -60x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-36y-20y=336$$

Mblidh -36y me -20y.

$$-56y=336$$

Pjesëto të dyja anët me -56.

$$y=-6$$

Zëvendëso y me -6 në 12x+4y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Shumëzo 4 herë -6.

$$12x-24=0$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$12x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=-6$$