Zgjidh {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x+2y=24$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-2y+24$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -2y+24.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{-2y+24}{5} në ekuacionin tjetër, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

Shumëzo -1 herë \frac{-2y+24}{5}.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Mblidh \frac{2y}{5} me y.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Mblidh \frac{24}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

Shumëzo -\frac{2}{5} herë 2.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Mblidh \frac{24}{5} me -\frac{4}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Thjeshto.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

Zbrit -5x+5y=-10 nga -5x-2y=-24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Mblidh -5x me 5x. Shprehjet -5x dhe 5x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y-5y=-24+10$$

Mblidh -2y me -5y.

$$-7y=-24+10$$

Mblidh -24 me 10.

$$-7y=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në -x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+2=-2$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=2$$