Zgjidh {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

Gjej k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3k+b=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-4k+b=-9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej k duke veçuar k në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3k+b=5$$

Zbrit b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3k=-b+5$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

Zëvendëso k me \frac{-b+5}{3} në ekuacionin tjetër, -4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

Shumëzo -4 herë \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

Mblidh \frac{4b}{3} me b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

Mblidh \frac{20}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=-1$$

Zëvendëso b me -1 në k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh k menjëherë.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

Mblidh \frac{5}{3} me \frac{1}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=2,b=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3k+b=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-4k+b=-9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës k dhe b.

$$k=2,b=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3k+b=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-4k+b=-9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Zbrit -4k+b=-9 nga 3k+b=5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

Mblidh b me -b. Shprehjet b dhe -b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3k+4k=5+9$$

Mblidh 3k me 4k.

$$7k=5+9$$

Mblidh 5 me 9.

$$7k=14$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$k=2$$

Zëvendëso k me 2 në -4k+b=-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$-4\times 2+b=-9$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$-8+b=-9$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$b=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=2,b=-1$$