\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.
Gjej x, y
x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182
y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
4x-5y=7,2x+3y=1
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
4x-5y=7
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
4x=5y+7
Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)
Pjesëto të dyja anët me 4.
x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}
Shumëzo \frac{1}{4} herë 5y+7.
2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1
Zëvendëso x me \frac{5y+7}{4} në ekuacionin tjetër, 2x+3y=1.
\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1
Shumëzo 2 herë \frac{5y+7}{4}.
\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1
Mblidh \frac{5y}{2} me 3y.
\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}
Zbrit \frac{7}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=-\frac{5}{11}
Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{11}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.
x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}
Zëvendëso y me -\frac{5}{11} në x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}
Shumëzo \frac{5}{4} herë -\frac{5}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=\frac{13}{11}
Mblidh \frac{7}{4} me -\frac{25}{44} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
4x-5y=7,2x+3y=1
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
4x-5y=7,2x+3y=1
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4
Për ta bërë 4x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.
8x-10y=14,8x+12y=4
Thjeshto.
8x-8x-10y-12y=14-4
Zbrit 8x+12y=4 nga 8x-10y=14 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
-10y-12y=14-4
Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
-22y=14-4
Mblidh -10y me -12y.
-22y=10
Mblidh 14 me -4.
y=-\frac{5}{11}
Pjesëto të dyja anët me -22.
2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1
Zëvendëso y me -\frac{5}{11} në 2x+3y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
2x-\frac{15}{11}=1
Shumëzo 3 herë -\frac{5}{11}.
2x=\frac{26}{11}
Mblidh \frac{15}{11} në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{13}{11}
Pjesëto të dyja anët me 2.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}