\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.
Gjej x, y
x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5
y=-1
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
4x-2y=8,2x+y=2
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
4x-2y=8
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
4x=2y+8
Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)
Pjesëto të dyja anët me 4.
x=\frac{1}{2}y+2
Shumëzo \frac{1}{4} herë 8+2y.
2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2
Zëvendëso x me \frac{y}{2}+2 në ekuacionin tjetër, 2x+y=2.
y+4+y=2
Shumëzo 2 herë \frac{y}{2}+2.
2y+4=2
Mblidh y me y.
2y=-2
Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.
y=-1
Pjesëto të dyja anët me 2.
x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2
Zëvendëso y me -1 në x=\frac{1}{2}y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=-\frac{1}{2}+2
Shumëzo \frac{1}{2} herë -1.
x=\frac{3}{2}
Mblidh 2 me -\frac{1}{2}.
x=\frac{3}{2},y=-1
Sistemi është zgjidhur tani.
4x-2y=8,2x+y=2
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=\frac{3}{2},y=-1
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
4x-2y=8,2x+y=2
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2
Për ta bërë 4x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.
8x-4y=16,8x+4y=8
Thjeshto.
8x-8x-4y-4y=16-8
Zbrit 8x+4y=8 nga 8x-4y=16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
-4y-4y=16-8
Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
-8y=16-8
Mblidh -4y me -4y.
-8y=8
Mblidh 16 me -8.
y=-1
Pjesëto të dyja anët me -8.
2x-1=2
Zëvendëso y me -1 në 2x+y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
2x=3
Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{3}{2}
Pjesëto të dyja anët me 2.
x=\frac{3}{2},y=-1
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}