\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.
Gjej x, y
x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182
y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
4x+y=-5,3x-2y=-14
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
4x+y=-5
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
4x=-y-5
Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)
Pjesëto të dyja anët me 4.
x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}
Shumëzo \frac{1}{4} herë -y-5.
3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14
Zëvendëso x me \frac{-y-5}{4} në ekuacionin tjetër, 3x-2y=-14.
-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14
Shumëzo 3 herë \frac{-y-5}{4}.
-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14
Mblidh -\frac{3y}{4} me -2y.
-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}
Mblidh \frac{15}{4} në të dyja anët e ekuacionit.
y=\frac{41}{11}
Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{11}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.
x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}
Zëvendëso y me \frac{41}{11} në x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}
Shumëzo -\frac{1}{4} herë \frac{41}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=-\frac{24}{11}
Mblidh -\frac{5}{4} me -\frac{41}{44} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
4x+y=-5,3x-2y=-14
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
4x+y=-5,3x-2y=-14
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)
Për ta bërë 4x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.
12x+3y=-15,12x-8y=-56
Thjeshto.
12x-12x+3y+8y=-15+56
Zbrit 12x-8y=-56 nga 12x+3y=-15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
3y+8y=-15+56
Mblidh 12x me -12x. Shprehjet 12x dhe -12x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
11y=-15+56
Mblidh 3y me 8y.
11y=41
Mblidh -15 me 56.
y=\frac{41}{11}
Pjesëto të dyja anët me 11.
3x-2\times \frac{41}{11}=-14
Zëvendëso y me \frac{41}{11} në 3x-2y=-14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
3x-\frac{82}{11}=-14
Shumëzo -2 herë \frac{41}{11}.
3x=-\frac{72}{11}
Mblidh \frac{82}{11} në të dyja anët e ekuacionit.
x=-\frac{24}{11}
Pjesëto të dyja anët me 3.
x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}