Zgjidh {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+2y=25,2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-2y+25,2$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -2y+25,2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} në ekuacionin tjetër, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Mblidh -\frac{y}{2} me 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Zbrit \frac{63}{10} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{257}{45}$$

Zëvendëso y me \frac{257}{45} në x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë \frac{257}{45} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Mblidh \frac{63}{10} me -\frac{257}{90} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{31}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Për ta bërë 4x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Thjeshto.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Zbrit 4x+20y=128 nga 4x+2y=25,2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2y-20y=25,2-128$$

Mblidh 2y me -20y.

$$-18y=25,2-128$$

Mblidh 25,2 me -128.

$$-18y=-102,8$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Zëvendëso y me \frac{257}{45} në x+5y=32. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Shumëzo 5 herë \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Zbrit \frac{257}{9} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{31}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$