Zgjidh {l}{4x+18y=284}{106x+40y+[37.16-78(x+y)]=1.42}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 18 y = 284 } \\ { 106 x + 40 y + [ 37.16 - 78 ( x + y ) ] = 1.42 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{253717}{16400} = 15\frac{7717}{16400} \approx 15.47054878$$

$$y = \frac{101187}{8200} = 12\frac{2787}{8200} \approx 12.339878049$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -78 me x+y.

$$106x+40y+37.16-78x-78y=1.42$$

Kombino 106x dhe -78x për të marrë 28x.

$$28x+40y+37.16-78y=1.42$$

Kombino 40y dhe -78y për të marrë -38y.

$$28x-38y+37.16=1.42$$

Zbrit 37.16 nga të dyja anët.

$$28x-38y=1.42-37.16$$

Zbrit 37.16 nga 1.42 për të marrë -35.74.

$$28x-38y=-35.74$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+18y=284,28x-38y=-35.74$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+18y=284$$

Zbrit 18y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-18y+284$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-18y+284\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -18y+284.

$$x=-\frac{9}{2}y+71$$

Zëvendëso x me -\frac{9y}{2}+71 në ekuacionin tjetër, 28x-38y=-35.74.

$$28\left(-\frac{9}{2}y+71\right)-38y=-35.74$$

Shumëzo 28 herë -\frac{9y}{2}+71.

$$-126y+1988-38y=-35.74$$

Mblidh -126y me -38y.

$$-164y+1988=-35.74$$

Zbrit 1988 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-164y=-2023.74$$

Pjesëto të dyja anët me -164.

$$y=\frac{101187}{8200}$$

Zëvendëso y me \frac{101187}{8200} në x=-\frac{9}{2}y+71. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{101187}{8200}+71$$

Shumëzo -\frac{9}{2} herë \frac{101187}{8200} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{910683}{16400}+71$$

Mblidh 71 me -\frac{910683}{16400}.

$$x=\frac{253717}{16400}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{253717}{16400},y=\frac{101187}{8200}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -78 me x+y.

$$106x+40y+37.16-78x-78y=1.42$$

Kombino 106x dhe -78x për të marrë 28x.

$$28x+40y+37.16-78y=1.42$$

Kombino 40y dhe -78y për të marrë -38y.

$$28x-38y+37.16=1.42$$

Zbrit 37.16 nga të dyja anët.

$$28x-38y=1.42-37.16$$

Zbrit 37.16 nga 1.42 për të marrë -35.74.

$$28x-38y=-35.74$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+18y=284,28x-38y=-35.74$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&18\\28&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{4\left(-38\right)-18\times 28}&-\frac{18}{4\left(-38\right)-18\times 28}\\-\frac{28}{4\left(-38\right)-18\times 28}&\frac{4}{4\left(-38\right)-18\times 28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{328}&\frac{9}{328}\\\frac{7}{164}&-\frac{1}{164}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}284\\-35.74\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{328}\times 284+\frac{9}{328}\left(-35.74\right)\\\frac{7}{164}\times 284-\frac{1}{164}\left(-35.74\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253717}{16400}\\\frac{101187}{8200}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{253717}{16400},y=\frac{101187}{8200}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -78 me x+y.

$$106x+40y+37.16-78x-78y=1.42$$

Kombino 106x dhe -78x për të marrë 28x.

$$28x+40y+37.16-78y=1.42$$

Kombino 40y dhe -78y për të marrë -38y.

$$28x-38y+37.16=1.42$$

Zbrit 37.16 nga të dyja anët.

$$28x-38y=1.42-37.16$$

Zbrit 37.16 nga 1.42 për të marrë -35.74.

$$28x-38y=-35.74$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+18y=284,28x-38y=-35.74$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 28x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 28 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$28\times 4x+28\times 18y=28\times 284,4\times 28x+4\left(-38\right)y=4\left(-35.74\right)$$

Thjeshto.

$$112x+504y=7952,112x-152y=-142.96$$

Zbrit 112x-152y=-142.96 nga 112x+504y=7952 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$112x-112x+504y+152y=7952+142.96$$

Mblidh 112x me -112x. Shprehjet 112x dhe -112x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$504y+152y=7952+142.96$$

Mblidh 504y me 152y.

$$656y=7952+142.96$$

Mblidh 7952 me 142.96.

$$656y=8094.96$$

Pjesëto të dyja anët me 656.

$$y=\frac{101187}{8200}$$

Zëvendëso y me \frac{101187}{8200} në 28x-38y=-35.74. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$28x-38\times \frac{101187}{8200}=-35.74$$

Shumëzo -38 herë \frac{101187}{8200}.

$$28x-\frac{1922553}{4100}=-35.74$$

Mblidh \frac{1922553}{4100} në të dyja anët e ekuacionit.

$$28x=\frac{1776019}{4100}$$

Pjesëto të dyja anët me 28.

$$x=\frac{253717}{16400}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{253717}{16400},y=\frac{101187}{8200}$$