Zgjidh {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Gjej m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej m duke veçuar m në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4m+9n=-35$$

Zbrit 9n nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4m=-9n-35$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Zëvendëso m me \frac{-9n-35}{4} në ekuacionin tjetër, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Shumëzo 3 herë \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Mblidh -\frac{27n}{4} me -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Mblidh \frac{105}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{59}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$n=-3$$

Zëvendëso n me -3 në m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Shumëzo -\frac{9}{4} herë -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Mblidh -\frac{35}{4} me \frac{27}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$m=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=-2,n=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës m dhe n.

$$m=-2,n=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Për ta bërë 4m të barabartë me 3m, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Thjeshto.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Zbrit 12m-32n=72 nga 12m+27n=-105 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Mblidh 12m me -12m. Shprehjet 12m dhe -12m thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$27n+32n=-105-72$$

Mblidh 27n me 32n.

$$59n=-105-72$$

Mblidh -105 me -72.

$$59n=-177$$

Pjesëto të dyja anët me 59.

$$n=-3$$

Zëvendëso n me -3 në 3m-8n=18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Shumëzo -8 herë -3.

$$3m+24=18$$

Zbrit 24 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3m=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$m=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=-2,n=-3$$