Zgjidh {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Kombino -4y dhe -14y për të marrë -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-18y=-36$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$-2x-7y=-18+4$$

Shto -18 dhe 4 për të marrë -14.

$$-2x-7y=-14$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-18y=-36$$

Mblidh 18y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=18y-36$$

Zëvendëso x me -36+18y në ekuacionin tjetër, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Shumëzo -2 herë -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Mblidh -36y me -7y.

$$-43y+72=-14$$

Zbrit 72 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-43y=-86$$

Pjesëto të dyja anët me -43.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=18y-36. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=18\times 2-36$$

Shumëzo 18 herë 2.

$$x=36-36$$

Mblidh -36 me 36.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Kombino -4y dhe -14y për të marrë -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-18y=-36$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$-2x-7y=-18+4$$

Shto -18 dhe 4 për të marrë -14.

$$-2x-7y=-14$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Kombino -4y dhe -14y për të marrë -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-18y=-36$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$-2x-7y=-18+4$$

Shto -18 dhe 4 për të marrë -14.

$$-2x-7y=-14$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Për ta bërë x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Thjeshto.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Zbrit -2x-7y=-14 nga -2x+36y=72 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$36y+7y=72+14$$

Mblidh 36y me 7y.

$$43y=72+14$$

Mblidh 72 me 14.

$$43y=86$$

Pjesëto të dyja anët me 43.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në -2x-7y=-14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Shumëzo -7 herë 2.

$$-2x-14=-14$$

Mblidh 14 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=2$$