Zgjidh {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$361x+463y=-102$$

Zbrit 463y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$361x=-463y-102$$

Pjesëto të dyja anët me 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Shumëzo \frac{1}{361} herë -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Zëvendëso x me \frac{-463y-102}{361} në ekuacionin tjetër, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Shumëzo 463 herë \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Mblidh -\frac{214369y}{361} me 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Mblidh \frac{47226}{361} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{84048}{361}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Shumëzo -\frac{463}{361} herë -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Mblidh -\frac{102}{361} me \frac{463}{361} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Për ta bërë 361x të barabartë me 463x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 463 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Thjeshto.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Zbrit 167143x+130321y=36822 nga 167143x+214369y=-47226 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Mblidh 167143x me -167143x. Shprehjet 167143x dhe -167143x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Mblidh 214369y me -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Mblidh -47226 me -36822.

$$84048y=-84048$$

Pjesëto të dyja anët me 84048.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në 463x+361y=102. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Shumëzo 361 herë -1.

$$463x-361=102$$

Mblidh 361 në të dyja anët e ekuacionit.

$$463x=463$$

Pjesëto të dyja anët me 463.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$