Zgjidh {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$30x+15y=675$$

Zbrit 15y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$30x=-15y+675$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Shumëzo \frac{1}{30} herë -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+45}{2} në ekuacionin tjetër, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Shumëzo 42 herë \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Mblidh -21y me 20y.

$$-y+945=940$$

Zbrit 945 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Mblidh \frac{45}{2} me -\frac{5}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=20$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=20,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=20,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Për ta bërë 30x të barabartë me 42x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 42 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Thjeshto.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Zbrit 1260x+600y=28200 nga 1260x+630y=28350 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Mblidh 1260x me -1260x. Shprehjet 1260x dhe -1260x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$630y-600y=28350-28200$$

Mblidh 630y me -600y.

$$30y=28350-28200$$

Mblidh 28350 me -28200.

$$30y=150$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 42x+20y=940. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$42x+20\times 5=940$$

Shumëzo 20 herë 5.

$$42x+100=940$$

Zbrit 100 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$42x=840$$

Pjesëto të dyja anët me 42.

$$x=20$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=20,y=5$$