Zgjidh {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3y-7x=-9$$

Mblidh 7x në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=7x-9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Zëvendëso y me \frac{7x}{3}-3 në ekuacionin tjetër, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Shumëzo 2 herë \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Mblidh \frac{14x}{3} me 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{29}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=\frac{7}{3}x-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Shumëzo \frac{7}{3} herë 3.

$$y=7-3$$

Mblidh -3 me 7.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=4,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Për ta bërë 3y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Thjeshto.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Zbrit 6y+15x=69 nga 6y-14x=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Mblidh 6y me -6y. Shprehjet 6y dhe -6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-14x-15x=-18-69$$

Mblidh -14x me -15x.

$$-29x=-18-69$$

Mblidh -18 me -69.

$$-29x=-87$$

Pjesëto të dyja anët me -29.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në 2y+5x=23. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y+5\times 3=23$$

Shumëzo 5 herë 3.

$$2y+15=23$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=3$$