Zgjidh {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$3y-4x=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3y-4x=8$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=4x+8$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{8+4x}{3} në ekuacionin tjetër, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Shumëzo 2 herë \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Mblidh \frac{8x}{3} me -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Zbrit \frac{16}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{16}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Zëvendëso x me -\frac{5}{16} në y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Shumëzo \frac{4}{3} herë -\frac{5}{16} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Mblidh \frac{8}{3} me -\frac{5}{12} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{9}{4}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$3y-4x=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$3y-4x=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Për ta bërë 3y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Thjeshto.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Zbrit 6y-24x=21 nga 6y-8x=16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Mblidh 6y me -6y. Shprehjet 6y dhe -6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8x+24x=16-21$$

Mblidh -8x me 24x.

$$16x=16-21$$

Mblidh 16 me -21.

$$16x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Zëvendëso x me -\frac{5}{16} në 2y-8x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Shumëzo -8 herë -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Zbrit \frac{5}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$