Zgjidh {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$3x+4y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+4y=0$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-4y$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Zëvendëso x me -\frac{4y}{3} në ekuacionin tjetër, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Shumëzo 5 herë -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Mblidh -\frac{20y}{3} me -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{38}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=-\frac{4}{3}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë -3.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$3x+4y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4y në të dyja anët.

$$3x+4y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Thjeshto.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Zbrit 15x-18y=114 nga 15x+20y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Mblidh 15x me -15x. Shprehjet 15x dhe -15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$20y+18y=-114$$

Mblidh 20y me 18y.

$$38y=-114$$

Pjesëto të dyja anët me 38.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 5x-6y=38. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Shumëzo -6 herë -3.

$$5x+18=38$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-3$$