Zgjidh {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x-3-2y=-2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$3x-2y=-2+3$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$4y-4-3x=15$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4y-3x=15+4$$

Shto 15 dhe 4 për të marrë 19.

$$4y-3x=19$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-2y=1$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=2y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{2y+1}{3} në ekuacionin tjetër, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Shumëzo -3 herë \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Mblidh -2y me 4y.

$$2y-1=19$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=20$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Mblidh \frac{1}{3} me \frac{20}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=10$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x-3-2y=-2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$3x-2y=-2+3$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$4y-4-3x=15$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4y-3x=15+4$$

Shto 15 dhe 4 për të marrë 19.

$$4y-3x=19$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=10$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x-3-2y=-2$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$3x-2y=-2+3$$

Shto -2 dhe 3 për të marrë 1.

$$3x-2y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$4y-4-3x=15$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4y-3x=15+4$$

Shto 15 dhe 4 për të marrë 19.

$$4y-3x=19$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Thjeshto.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Zbrit -9x+12y=57 nga -9x+6y=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Mblidh -9x me 9x. Shprehjet -9x dhe 9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y-12y=-3-57$$

Mblidh 6y me -12y.

$$-6y=-3-57$$

Mblidh -3 me -57.

$$-6y=-60$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në -3x+4y=19. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+4\times 10=19$$

Shumëzo 4 herë 10.

$$-3x+40=19$$

Zbrit 40 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-21$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=10$$