Zgjidh {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Kombino 3x dhe -4x për të marrë -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Kombino 3y dhe 4y për të marrë 7y.

$$-x+7y=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{6} me x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}x dhe \frac{1}{6}x për të marrë \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -\frac{1}{6}y për të marrë \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x+7y=-18$$

Zbrit 7y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-7y-18$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Shumëzo -1 herë -7y-18.

$$x=7y+18$$

Zëvendëso x me 7y+18 në ekuacionin tjetër, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Mblidh \frac{14y}{3} me \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=7y+18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Shumëzo 7 herë -2.

$$x=-14+18$$

Mblidh 18 me -14.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Kombino 3x dhe -4x për të marrë -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Kombino 3y dhe 4y për të marrë 7y.

$$-x+7y=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{6} me x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}x dhe \frac{1}{6}x për të marrë \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -\frac{1}{6}y për të marrë \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Kombino 3x dhe -4x për të marrë -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Kombino 3y dhe 4y për të marrë 7y.

$$-x+7y=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{2} me x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar \frac{1}{6} me x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}x dhe \frac{1}{6}x për të marrë \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -\frac{1}{6}y për të marrë \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Për ta bërë -x të barabartë me \frac{2x}{3}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me \frac{2}{3} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Thjeshto.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Zbrit -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 nga -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Mblidh -\frac{2x}{3} me \frac{2x}{3}. Shprehjet -\frac{2x}{3} dhe \frac{2x}{3} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Mblidh \frac{14y}{3} me \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Mblidh -12 me 2.

$$5y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Mblidh \frac{2}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=-2$$