Zgjidh {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x+3y+9=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$x+3y+9+2y=0$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$x+5y+9=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x+5y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+2y+3y=-4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+5y=-9$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-5y-9$$

Zëvendëso x me -5y-9 në ekuacionin tjetër, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

Shumëzo -1 herë -5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

Mblidh 5y me 5y.

$$10y+9=-4$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$10y=-13$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Zëvendëso y me -\frac{13}{10} në x=-5y-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

Shumëzo -5 herë -\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

Mblidh -9 me \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x+3y+9=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$x+3y+9+2y=0$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$x+5y+9=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x+5y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+2y+3y=-4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x+3y+9=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$x+3y+9+2y=0$$

Kombino 3y dhe 2y për të marrë 5y.

$$x+5y+9=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x+5y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+2y+3y=-4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Zbrit -x+5y=-4 nga x+5y=-9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

Mblidh 5y me -5y. Shprehjet 5y dhe -5y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+x=-9+4$$

Mblidh x me x.

$$2x=-9+4$$

Mblidh -9 me 4.

$$2x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{5}{2} në -x+5y=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

Shumëzo -1 herë -\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

Zbrit \frac{5}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$