Zgjidh {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6=2y$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+6-2y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-2y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2cy+5-7x=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2cy-7x=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-2y=-6$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=2y-6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Zëvendëso x me \frac{2y}{3}-2 në ekuacionin tjetër, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

Shumëzo -7 herë \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Mblidh -\frac{14y}{3} me 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

Zbrit 14 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

Pjesëto të dyja anët me -\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Zëvendëso y me -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} në x=\frac{2}{3}y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Mblidh -2 me -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6=2y$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+6-2y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-2y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2cy+5-7x=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2cy-7x=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6=2y$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+6-2y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-2y=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2cy+5-7x=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2cy-7x=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Thjeshto.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

Zbrit -21x+6cy=-15 nga -21x+14y=42 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Mblidh -21x me 21x. Shprehjet -21x dhe 21x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Mblidh 14y me -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Mblidh 42 me 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

Pjesëto të dyja anët me 14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

Zëvendëso y me \frac{57}{2\left(7-3c\right)} në -7x+2cy=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

Shumëzo 2c herë \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

Zbrit \frac{57c}{7-3c} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$