Zgjidh {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Zbrit 21 nga -6 për të marrë -27.

$$15x-27-14y=2$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$15x-14y=2+27$$

Shto 2 dhe 27 për të marrë 29.

$$15x-14y=29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Shto 27x në të dyja anët.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Kombino 6x dhe 27x për të marrë 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$33x-2y=12+23$$

Shto 12 dhe 23 për të marrë 35.

$$33x-2y=35$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$15x-14y=29$$

Mblidh 14y në të dyja anët e ekuacionit.

$$15x=14y+29$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Shumëzo \frac{1}{15} herë 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Zëvendëso x me \frac{14y+29}{15} në ekuacionin tjetër, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Shumëzo 33 herë \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Mblidh \frac{154y}{5} me -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Zbrit \frac{319}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{144}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Shumëzo \frac{14}{15} herë -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Mblidh \frac{29}{15} me -\frac{14}{15} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Zbrit 21 nga -6 për të marrë -27.

$$15x-27-14y=2$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$15x-14y=2+27$$

Shto 2 dhe 27 për të marrë 29.

$$15x-14y=29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Shto 27x në të dyja anët.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Kombino 6x dhe 27x për të marrë 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$33x-2y=12+23$$

Shto 12 dhe 23 për të marrë 35.

$$33x-2y=35$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Zbrit 21 nga -6 për të marrë -27.

$$15x-27-14y=2$$

Shto 27 në të dyja anët.

$$15x-14y=2+27$$

Shto 2 dhe 27 për të marrë 29.

$$15x-14y=29$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Shto 27x në të dyja anët.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Kombino 6x dhe 27x për të marrë 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$33x-2y=12+23$$

Shto 12 dhe 23 për të marrë 35.

$$33x-2y=35$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Për ta bërë 15x të barabartë me 33x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 33 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Thjeshto.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Zbrit 495x-30y=525 nga 495x-462y=957 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Mblidh 495x me -495x. Shprehjet 495x dhe -495x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-462y+30y=957-525$$

Mblidh -462y me 30y.

$$-432y=957-525$$

Mblidh 957 me -525.

$$-432y=432$$

Pjesëto të dyja anët me -432.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në 33x-2y=35. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Shumëzo -2 herë -1.

$$33x+2=35$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$33x=33$$

Pjesëto të dyja anët me 33.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-1$$