Zgjidh {l}{3(2x-y)=x-y}{x+5y=4(x+y)-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - y ) = x - y } \\ { x + 5 y = 4 ( x + y ) - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$6x-3y-x=-y$$

Kombino 6x dhe -x për të marrë 5x.

$$5x-3y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$5x-3y+y=0$$

Kombino -3y dhe y për të marrë -2y.

$$5x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Kombino x dhe -4x për të marrë -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Kombino 5y dhe -4y për të marrë y.

$$-3x+y=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-2y=0$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=2y$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 2y$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 2y.

$$x=\frac{2}{5}y$$

Zëvendëso x me \frac{2y}{5} në ekuacionin tjetër, -3x+y=-1.

$$-3\times \frac{2}{5}y+y=-1$$

Shumëzo -3 herë \frac{2y}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+y=-1$$

Mblidh -\frac{6y}{5} me y.

$$-\frac{1}{5}y=-1$$

Shumëzo të dyja anët me -5.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=\frac{2}{5}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{5}\times 5$$

Shumëzo \frac{2}{5} herë 5.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$6x-3y-x=-y$$

Kombino 6x dhe -x për të marrë 5x.

$$5x-3y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$5x-3y+y=0$$

Kombino -3y dhe y për të marrë -2y.

$$5x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Kombino x dhe -4x për të marrë -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Kombino 5y dhe -4y për të marrë y.

$$-3x+y=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)\\-5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$6x-3y-x=-y$$

Kombino 6x dhe -x për të marrë 5x.

$$5x-3y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$5x-3y+y=0$$

Kombino -3y dhe y për të marrë -2y.

$$5x-2y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Kombino x dhe -4x për të marrë -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Kombino 5y dhe -4y për të marrë y.

$$-3x+y=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-3\times 5x-3\left(-2\right)y=0,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$-15x+6y=0,-15x+5y=-5$$

Zbrit -15x+5y=-5 nga -15x+6y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-15x+15x+6y-5y=5$$

Mblidh -15x me 15x. Shprehjet -15x dhe 15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y-5y=5$$

Mblidh 6y me -5y.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në -3x+y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+5=-1$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=5$$