Zgjidh {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$220x+100y+108=352$$

Zbrit 108 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$220x+100y=244$$

Zbrit 100y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$220x=-100y+244$$

Pjesëto të dyja anët me 220.

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

Shumëzo \frac{1}{220} herë -100y+244.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} në ekuacionin tjetër, 220x+600y+108=316.

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

Shumëzo 220 herë -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}.

$$-100y+244+600y+108=316$$

Mblidh -100y me 600y.

$$500y+244+108=316$$

Mblidh 244 me 108.

$$500y+352=316$$

Zbrit 352 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$500y=-36$$

Pjesëto të dyja anët me 500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

Zëvendëso y me -\frac{9}{125} në x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

Shumëzo -\frac{5}{11} herë -\frac{9}{125} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

Mblidh \frac{61}{55} me \frac{9}{275} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{314}{275}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Zbrit 220x+600y+108=316 nga 220x+100y+108=352 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

Mblidh 220x me -220x. Shprehjet 220x dhe -220x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$100y-600y+108-108=352-316$$

Mblidh 100y me -600y.

$$-500y+108-108=352-316$$

Mblidh 108 me -108.

$$-500y=352-316$$

Mblidh 352 me -316.

$$-500y=36$$

Pjesëto të dyja anët me -500.

$$y=-\frac{9}{125}$$

Zëvendëso y me -\frac{9}{125} në 220x+600y+108=316. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

Shumëzo 600 herë -\frac{9}{125}.

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

Mblidh -\frac{216}{5} me 108.

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

Zbrit \frac{324}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$220x=\frac{1256}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 220.

$$x=\frac{314}{275}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$