Zgjidh {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$21x+7y=42$$

Zbrit 7y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$21x=-7y+42$$

Pjesëto të dyja anët me 21.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Shumëzo \frac{1}{21} herë -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{3}+2 në ekuacionin tjetër, -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Shumëzo -5 herë -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Mblidh \frac{5y}{3} me 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Mblidh 10 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{20}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-\frac{1}{3}y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë 3.

$$x=-1+2$$

Mblidh 2 me -1.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Për ta bërë 21x të barabartë me -5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 21.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Thjeshto.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Zbrit -105x+105y=210 nga -105x-35y=-210 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Mblidh -105x me 105x. Shprehjet -105x dhe 105x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-35y-105y=-210-210$$

Mblidh -35y me -105y.

$$-140y=-210-210$$

Mblidh -210 me -210.

$$-140y=-420$$

Pjesëto të dyja anët me -140.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në -5x+5y=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-5x+5\times 3=10$$

Shumëzo 5 herë 3.

$$-5x+15=10$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=3$$