Zgjidh {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$200x+300y=360$$

Zbrit 300y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$200x=-300y+360$$

Pjesëto të dyja anët me 200.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Shumëzo \frac{1}{200} herë -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} në ekuacionin tjetër, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Shumëzo 300 herë -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Mblidh -450y me 200y.

$$-250y+540=340$$

Zbrit 540 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-250y=-200$$

Pjesëto të dyja anët me -250.

$$y=\frac{4}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{4}{5} në x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë \frac{4}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Mblidh \frac{9}{5} me -\frac{6}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Për ta bërë 200x të barabartë me 300x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 300 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 200.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Thjeshto.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Zbrit 60000x+40000y=68000 nga 60000x+90000y=108000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Mblidh 60000x me -60000x. Shprehjet 60000x dhe -60000x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Mblidh 90000y me -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Mblidh 108000 me -68000.

$$50000y=40000$$

Pjesëto të dyja anët me 50000.

$$y=\frac{4}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{4}{5} në 300x+200y=340. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Shumëzo 200 herë \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Zbrit 160 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$300x=180$$

Pjesëto të dyja anët me 300.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$