Zgjidh {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x+y=115-20$$

Zbrit 20 nga 115 për të marrë 95.

$$x+y=95$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8y nga të dyja anët.

$$11x-8y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=95$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+95$$

Zëvendëso x me -y+95 në ekuacionin tjetër, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Shumëzo 11 herë -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Mblidh -11y me -8y.

$$-19y+1045=0$$

Zbrit 1045 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-19y=-1045$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$y=55$$

Zëvendëso y me 55 në x=-y+95. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-55+95$$

Mblidh 95 me -55.

$$x=40$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=40,y=55$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x+y=115-20$$

Zbrit 20 nga 115 për të marrë 95.

$$x+y=95$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8y nga të dyja anët.

$$11x-8y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=40,y=55$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x+y=115-20$$

Zbrit 20 nga 115 për të marrë 95.

$$x+y=95$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8y nga të dyja anët.

$$11x-8y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Për ta bërë x të barabartë me 11x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 11 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Thjeshto.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Zbrit 11x-8y=0 nga 11x+11y=1045 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Mblidh 11x me -11x. Shprehjet 11x dhe -11x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$11y+8y=1045$$

Mblidh 11y me 8y.

$$19y=1045$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$y=55$$

Zëvendëso y me 55 në 11x-8y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$11x-8\times 55=0$$

Shumëzo -8 herë 55.

$$11x-440=0$$

Mblidh 440 në të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=440$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=40$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=40,y=55$$