Zgjidh {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y-3x=-6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2y-3x=-6$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=3x-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Zëvendëso y me \frac{3x}{2}-3 në ekuacionin tjetër, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Shumëzo 4 herë \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Mblidh 6x me 5x.

$$11x-12=8$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

Zëvendëso x me \frac{20}{11} në y=\frac{3}{2}x-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë \frac{20}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Mblidh -3 me \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y-3x=-6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2y-3x=-6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Për ta bërë 2y të barabartë me 4y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Thjeshto.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Zbrit 8y+10x=16 nga 8y-12x=-24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Mblidh 8y me -8y. Shprehjet 8y dhe -8y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-12x-10x=-24-16$$

Mblidh -12x me -10x.

$$-22x=-24-16$$

Mblidh -24 me -16.

$$-22x=-40$$

Pjesëto të dyja anët me -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

Zëvendëso x me \frac{20}{11} në 4y+5x=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Shumëzo 5 herë \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Zbrit \frac{100}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$