Zgjidh {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+3y=30$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=5$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y+5$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{5+y}{2} në ekuacionin tjetër, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Shumëzo -1 herë \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Mblidh -\frac{y}{2} me 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Mblidh \frac{5}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=13$$

Zëvendëso y me 13 në x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Mblidh \frac{5}{2} me \frac{13}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=9,y=13$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+3y=30$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=9,y=13$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$-x+3y=30$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Thjeshto.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Zbrit -2x+6y=60 nga -2x+y=-5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-6y=-5-60$$

Mblidh y me -6y.

$$-5y=-5-60$$

Mblidh -5 me -60.

$$-5y=-65$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=13$$

Zëvendëso y me 13 në -x+3y=30. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+3\times 13=30$$

Shumëzo 3 herë 13.

$$-x+39=30$$

Zbrit 39 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=9$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=9,y=13$$