Zgjidh {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x-y-4x=-3$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-2x-y=-3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=y-3$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+3}{2} në ekuacionin tjetër, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Mblidh -\frac{y}{2} me y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{3}{2} me 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x-y-4x=-3$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x-y-4x=-3$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Për ta bërë -2x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Thjeshto.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Zbrit -2x-2y=-1 nga -2x-y=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y+2y=-3+1$$

Mblidh -y me 2y.

$$y=-3+1$$

Mblidh -3 me 1.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x+y=\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$