Zgjidh {l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 5-y.

$$3x=10-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$3x+2y=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=2$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y+2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Zëvendëso x me \frac{y}{2}+1 në ekuacionin tjetër, 3x+2y=10.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

Shumëzo 3 herë \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

Mblidh \frac{3y}{2} me 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=\frac{1}{2}y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 2.

$$x=1+1$$

Mblidh 1 me 1.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 5-y.

$$3x=10-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$3x+2y=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 5-y.

$$3x=10-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$3x+2y=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Thjeshto.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Zbrit 6x+4y=20 nga 6x-3y=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-4y=6-20$$

Mblidh -3y me -4y.

$$-7y=6-20$$

Mblidh 6 me -20.

$$-7y=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në 3x+2y=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\times 2=10$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$3x+4=10$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=2$$