Zgjidh {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Kombino 2x dhe -x për të marrë x.

$$x=4m+2$$

Zëvendëso x me 4m+2 në ekuacionin tjetër, -x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

Shumëzo -1 herë 4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

Mblidh -4m me -5m.

$$-9m-2=-5$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-9m=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Zëvendëso m me \frac{1}{3} në x=4m+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

Shumëzo 4 herë \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Mblidh 2 me \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Kombino 2x dhe -x për të marrë x.

$$x=4m+2$$

Zbrit 4m nga të dyja anët.

$$x-4m=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x=5m-5$$

Zbrit 5m nga të dyja anët.

$$-x-5m=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Kombino 2x dhe -x për të marrë x.

$$x=4m+2$$

Zbrit 4m nga të dyja anët.

$$x-4m=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x=5m-5$$

Zbrit 5m nga të dyja anët.

$$-x-5m=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

Thjeshto.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

Zbrit -x-5m=-5 nga -x+4m=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4m+5m=-2+5$$

Mblidh 4m me 5m.

$$9m=-2+5$$

Mblidh -2 me 5.

$$9m=3$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Zëvendëso m me \frac{1}{3} në -x-5m=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

Shumëzo -5 herë \frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

Mblidh \frac{5}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$