Zgjidh {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 8x në të dyja anët.

$$7y+8x=-17$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=10$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+5 në ekuacionin tjetër, 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Shumëzo 8 herë \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Mblidh 12y me 7y.

$$19y+40=-17$$

Zbrit 40 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$19y=-57$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=\frac{3}{2}y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Mblidh 5 me -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 8x në të dyja anët.

$$7y+8x=-17$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 10 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$2x-3y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 8x në të dyja anët.

$$7y+8x=-17$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Thjeshto.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Zbrit 16x+14y=-34 nga 16x-24y=80 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Mblidh 16x me -16x. Shprehjet 16x dhe -16x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-24y-14y=80+34$$

Mblidh -24y me -14y.

$$-38y=80+34$$

Mblidh 80 me 34.

$$-38y=114$$

Pjesëto të dyja anët me -38.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 8x+7y=-17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Shumëzo 7 herë -3.

$$8x-21=-17$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$