Zgjidh {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-15-3y=6$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$2x-3y=6+15$$

Shto 6 dhe 15 për të marrë 21.

$$2x-3y=21$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Shto 5y në të dyja anët.

$$7x-28+5y=-1$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$7x+5y=-1+28$$

Shto -1 dhe 28 për të marrë 27.

$$7x+5y=27$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=21$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+21$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{21+3y}{2} në ekuacionin tjetër, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Shumëzo 7 herë \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Mblidh \frac{21y}{2} me 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Zbrit \frac{147}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{31}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Mblidh \frac{21}{2} me -\frac{9}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-15-3y=6$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$2x-3y=6+15$$

Shto 6 dhe 15 për të marrë 21.

$$2x-3y=21$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Shto 5y në të dyja anët.

$$7x-28+5y=-1$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$7x+5y=-1+28$$

Shto -1 dhe 28 për të marrë 27.

$$7x+5y=27$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=6,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x-15-3y=6$$

Shto 15 në të dyja anët.

$$2x-3y=6+15$$

Shto 6 dhe 15 për të marrë 21.

$$2x-3y=21$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Shto 5y në të dyja anët.

$$7x-28+5y=-1$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$7x+5y=-1+28$$

Shto -1 dhe 28 për të marrë 27.

$$7x+5y=27$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 7x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Thjeshto.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Zbrit 14x+10y=54 nga 14x-21y=147 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Mblidh 14x me -14x. Shprehjet 14x dhe -14x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-21y-10y=147-54$$

Mblidh -21y me -10y.

$$-31y=147-54$$

Mblidh 147 me -54.

$$-31y=93$$

Pjesëto të dyja anët me -31.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 7x+5y=27. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Shumëzo 5 herë -3.

$$7x-15=27$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=42$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=6,y=-3$$