Zgjidh {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{4}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+y=-6$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-y-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}-3 në ekuacionin tjetër, -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Mblidh \frac{y}{8} me y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Zbrit \frac{3}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{8}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=2$$

Zëvendëso y me 2 në x=-\frac{1}{2}y-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 2.

$$x=-1-3$$

Mblidh -3 me -1.

$$x=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-4,y=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{4}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-4,y=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{4}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Zbrit -\frac{1}{4}x+y=3 nga 2x+y=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Mblidh 2x me \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Mblidh -6 me -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në -\frac{1}{4}x+y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

Shumëzo -\frac{1}{4} herë -4.

$$1+y=3$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-4,y=2$$