Zgjidh {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+4y=12$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-4y+12$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Zëvendëso x me -2y+6 në ekuacionin tjetër, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Shumëzo 5 herë -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Mblidh -10y me -8y.

$$-18y+30=16$$

Zbrit 30 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-18y=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{9} në x=-2y+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Shumëzo -2 herë \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Mblidh 6 me -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Thjeshto.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Zbrit 10x-16y=32 nga 10x+20y=60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Mblidh 10x me -10x. Shprehjet 10x dhe -10x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$20y+16y=60-32$$

Mblidh 20y me 16y.

$$36y=60-32$$

Mblidh 60 me -32.

$$36y=28$$

Pjesëto të dyja anët me 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Zëvendëso y me \frac{7}{9} në 5x-8y=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Shumëzo -8 herë \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Mblidh \frac{56}{9} në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$