Zgjidh {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$2x+10-4y=-16x$$

Shto 16x në të dyja anët.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Kombino 2x dhe 16x për të marrë 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$18x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 11y nga të dyja anët.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Kombino 10y dhe -11y për të marrë -y.

$$-y-10x=-12x$$

Shto 12x në të dyja anët.

$$-y-10x+12x=0$$

Kombino -10x dhe 12x për të marrë 2x.

$$-y+2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$18x-4y=-10$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=4y-10$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Shumëzo \frac{1}{18} herë 4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Zëvendëso x me \frac{2y-5}{9} në ekuacionin tjetër, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Shumëzo 2 herë \frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Mblidh \frac{4y}{9} me -y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Mblidh \frac{10}{9} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{5}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Shumëzo \frac{2}{9} herë -2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Mblidh -\frac{5}{9} me -\frac{4}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$2x+10-4y=-16x$$

Shto 16x në të dyja anët.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Kombino 2x dhe 16x për të marrë 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$18x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 11y nga të dyja anët.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Kombino 10y dhe -11y për të marrë -y.

$$-y-10x=-12x$$

Shto 12x në të dyja anët.

$$-y-10x+12x=0$$

Kombino -10x dhe 12x për të marrë 2x.

$$-y+2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$2x+10-4y=-16x$$

Shto 16x në të dyja anët.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Kombino 2x dhe 16x për të marrë 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Zbrit 10 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$18x-4y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 11y nga të dyja anët.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Kombino 10y dhe -11y për të marrë -y.

$$-y-10x=-12x$$

Shto 12x në të dyja anët.

$$-y-10x+12x=0$$

Kombino -10x dhe 12x për të marrë 2x.

$$-y+2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Për ta bërë 18x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Thjeshto.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Zbrit 36x-18y=0 nga 36x-8y=-20 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Mblidh 36x me -36x. Shprehjet 36x dhe -36x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y+18y=-20$$

Mblidh -8y me 18y.

$$10y=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në 2x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-2$$