Zgjidh {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Gjej m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4n nga të dyja anët.

$$-m+5-4n=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-m-4n=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej m duke veçuar m në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2m-3n=130$$

Mblidh 3n në të dyja anët e ekuacionit.

$$2m=3n+130$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Zëvendëso m me \frac{3n}{2}+65 në ekuacionin tjetër, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Shumëzo -1 herë \frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Mblidh -\frac{3n}{2} me -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Mblidh 65 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{11}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Zëvendëso n me -\frac{120}{11} në m=\frac{3}{2}n+65. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -\frac{120}{11} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Mblidh 65 me -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4n nga të dyja anët.

$$-m+5-4n=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-m-4n=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës m dhe n.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 4n nga të dyja anët.

$$-m+5-4n=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-m-4n=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Për ta bërë 2m të barabartë me -m, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Thjeshto.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Zbrit -2m-8n=-10 nga -2m+3n=-130 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Mblidh -2m me 2m. Shprehjet -2m dhe 2m thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3n+8n=-130+10$$

Mblidh 3n me 8n.

$$11n=-130+10$$

Mblidh -130 me 10.

$$11n=-120$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Zëvendëso n me -\frac{120}{11} në -m-4n=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh m menjëherë.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Shumëzo -4 herë -\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Zbrit \frac{480}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$m=\frac{535}{11}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$