Zgjidh {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2a-3b=0$$

Mblidh 3b në të dyja anët e ekuacionit.

$$2a=3b$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Zëvendëso a me \frac{3b}{2} në ekuacionin tjetër, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Shumëzo 7 herë \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Mblidh \frac{21b}{2} me 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{25}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=16$$

Zëvendëso b me 16 në a=\frac{3}{2}b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë 16.

$$a=24$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=24,b=16$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=24,b=16$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Për ta bërë 2a të barabartë me 7a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 7 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Thjeshto.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Zbrit 14a+4b=400 nga 14a-21b=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Mblidh 14a me -14a. Shprehjet 14a dhe -14a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-21b-4b=-400$$

Mblidh -21b me -4b.

$$-25b=-400$$

Pjesëto të dyja anët me -25.

$$b=16$$

Zëvendëso b me 16 në 7a+2b=200. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$7a+2\times 16=200$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$7a+32=200$$

Zbrit 32 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7a=168$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$a=24$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=24,b=16$$