Zgjidh {l}{2a=3b}{5a-3b=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 5 a - 3 b = 3 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=1$$

$$b=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2a-3b=0,5a-3b=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2a-3b=0$$

Mblidh 3b në të dyja anët e ekuacionit.

$$2a=3b$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Zëvendëso a me \frac{3b}{2} në ekuacionin tjetër, 5a-3b=3.

$$5\times \frac{3}{2}b-3b=3$$

Shumëzo 5 herë \frac{3b}{2}.

$$\frac{15}{2}b-3b=3$$

Mblidh \frac{15b}{2} me -3b.

$$\frac{9}{2}b=3$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=\frac{2}{3}$$

Zëvendëso b me \frac{2}{3} në a=\frac{3}{2}b. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë \frac{2}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=1,b=\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2a-3b=0,5a-3b=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=1,b=\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3b nga të dyja anët.

$$2a-3b=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2a-3b=0,5a-3b=3$$

Zbrit 5a-3b=3 nga 2a-3b=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2a-5a-3b+3b=-3$$

Mblidh -3b me 3b. Shprehjet -3b dhe 3b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2a-5a=-3$$

Mblidh 2a me -5a.

$$-3a=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$a=1$$

Zëvendëso a me 1 në 5a-3b=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$5-3b=3$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3b=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$b=\frac{2}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=1,b=\frac{2}{3}$$