Zgjidh {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$2-y-12x=6+y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2-y-12x-y=6$$

Kombino -y dhe -y për të marrë -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-2y-12x=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$-2y-12x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+4-3y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-2y-12x=4$$

Mblidh 12x në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=12x+4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 12x+4.

$$y=-6x-2$$

Zëvendëso y me -6x-2 në ekuacionin tjetër, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Shumëzo -3 herë -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

Mblidh 18x me x.

$$19x+6=-4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$19x=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Zëvendëso x me -\frac{10}{19} në y=-6x-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Shumëzo -6 herë -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Mblidh -2 me \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$2-y-12x=6+y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2-y-12x-y=6$$

Kombino -y dhe -y për të marrë -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-2y-12x=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$-2y-12x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+4-3y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Zbrit 12x nga të dyja anët.

$$2-y-12x=6+y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2-y-12x-y=6$$

Kombino -y dhe -y për të marrë -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$-2y-12x=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$-2y-12x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+4-3y=0$$

Zbrit 4 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$x-3y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Për ta bërë -2y të barabartë me -3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Thjeshto.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Zbrit 6y-2x=8 nga 6y+36x=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Mblidh 6y me -6y. Shprehjet 6y dhe -6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$36x+2x=-12-8$$

Mblidh 36x me 2x.

$$38x=-12-8$$

Mblidh -12 me -8.

$$38x=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Zëvendëso x me -\frac{10}{19} në -3y+x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Mblidh \frac{10}{19} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=\frac{22}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$