Zgjidh {l}{2(x+3y)=7x-2y}{3x-2y-7=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 y ) = 7 x - 2 y } \\ { 3 x - 2 y - 7 = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3y.

$$2x+6y=7x-2y$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2x+6y-7x=-2y$$

Kombino 2x dhe -7x për të marrë -5x.

$$-5x+6y=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$-5x+6y+2y=0$$

Kombino 6y dhe 2y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-2y=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5x+8y=0,3x-2y=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5x+8y=0$$

Zbrit 8y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-8y$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

Zëvendëso x me \frac{8y}{5} në ekuacionin tjetër, 3x-2y=7.

$$3\times \frac{8}{5}y-2y=7$$

Shumëzo 3 herë \frac{8y}{5}.

$$\frac{24}{5}y-2y=7$$

Mblidh \frac{24y}{5} me -2y.

$$\frac{14}{5}y=7$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{14}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{5}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{2} në x=\frac{8}{5}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{8}{5}\times \frac{5}{2}$$

Shumëzo \frac{8}{5} herë \frac{5}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3y.

$$2x+6y=7x-2y$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2x+6y-7x=-2y$$

Kombino 2x dhe -7x për të marrë -5x.

$$-5x+6y=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$-5x+6y+2y=0$$

Kombino 6y dhe 2y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-2y=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5x+8y=0,3x-2y=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-8\times 3}&-\frac{8}{-5\left(-2\right)-8\times 3}\\-\frac{3}{-5\left(-2\right)-8\times 3}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 7\\\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3y.

$$2x+6y=7x-2y$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$2x+6y-7x=-2y$$

Kombino 2x dhe -7x për të marrë -5x.

$$-5x+6y=-2y$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$-5x+6y+2y=0$$

Kombino 6y dhe 2y për të marrë 8y.

$$-5x+8y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$3x-2y=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5x+8y=0,3x-2y=7$$

Për ta bërë -5x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.

$$3\left(-5\right)x+3\times 8y=0,-5\times 3x-5\left(-2\right)y=-5\times 7$$

Thjeshto.

$$-15x+24y=0,-15x+10y=-35$$

Zbrit -15x+10y=-35 nga -15x+24y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-15x+15x+24y-10y=35$$

Mblidh -15x me 15x. Shprehjet -15x dhe 15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$24y-10y=35$$

Mblidh 24y me -10y.

$$14y=35$$

Pjesëto të dyja anët me 14.

$$y=\frac{5}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{2} në 3x-2y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-2\times \frac{5}{2}=7$$

Shumëzo -2 herë \frac{5}{2}.

$$3x-5=7$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$