Zgjidh {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$2x+6=3y+4$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+6-3y=4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x-3y=4-6$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$2x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Shto -4 dhe 3 për të marrë -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x-3y-3=-1$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$x-3y=-1+3$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$x-3y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=-2$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y-2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}-1 në ekuacionin tjetër, x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Mblidh \frac{3y}{2} me -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=\frac{3}{2}y-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -2.

$$x=-3-1$$

Mblidh -1 me -3.

$$x=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-4,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$2x+6=3y+4$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+6-3y=4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x-3y=4-6$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$2x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Shto -4 dhe 3 për të marrë -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x-3y-3=-1$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$x-3y=-1+3$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$x-3y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-4,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$2x+6=3y+4$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$2x+6-3y=4$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x-3y=4-6$$

Zbrit 6 nga 4 për të marrë -2.

$$2x-3y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Shto -4 dhe 3 për të marrë -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Kombino 3x dhe -2x për të marrë x.

$$x-3y-3=-1$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$x-3y=-1+3$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$x-3y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Zbrit x-3y=2 nga 2x-3y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-x=-2-2$$

Mblidh 2x me -x.

$$x=-2-2$$

Mblidh -2 me -2.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në x-3y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-4-3y=2$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-4,y=-2$$