Zgjidh {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$6x+3y=31+8$$

Shto 31 dhe 8 për të marrë 39.

$$6x+3y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5.

$$5x-2y=50$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x+3y=39$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-3y+39$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+13}{2} në ekuacionin tjetër, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Shumëzo 5 herë \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Mblidh -\frac{5y}{2} me -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Zbrit \frac{65}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{9}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Zëvendëso y me -\frac{35}{9} në x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -\frac{35}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Mblidh \frac{13}{2} me \frac{35}{18} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{76}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$6x+3y=31+8$$

Shto 31 dhe 8 për të marrë 39.

$$6x+3y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5.

$$5x-2y=50$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Shto 8 në të dyja anët.

$$6x+3y=31+8$$

Shto 31 dhe 8 për të marrë 39.

$$6x+3y=39$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,5.

$$5x-2y=50$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Për ta bërë 6x të barabartë me 5x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Thjeshto.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Zbrit 30x-12y=300 nga 30x+15y=195 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Mblidh 30x me -30x. Shprehjet 30x dhe -30x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$15y+12y=195-300$$

Mblidh 15y me 12y.

$$27y=195-300$$

Mblidh 195 me -300.

$$27y=-105$$

Pjesëto të dyja anët me 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Zëvendëso y me -\frac{35}{9} në 5x-2y=50. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Shumëzo -2 herë -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Zbrit \frac{70}{9} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$