Zgjidh {l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$16x+2y=1530$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$16x+2y=1530$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16x=-2y+1530$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

Shumëzo \frac{1}{16} herë -2y+1530.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+765}{8} në ekuacionin tjetër, 817x+110y=77715.

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

Shumëzo 817 herë \frac{-y+765}{8}.

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

Mblidh -\frac{817y}{8} me 110y.

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

Zbrit \frac{625005}{8} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{63}{8}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{365}{7}$$

Zëvendëso y me -\frac{365}{7} në x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

Shumëzo -\frac{1}{8} herë -\frac{365}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

Mblidh \frac{765}{8} me \frac{365}{56} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{715}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$16x+2y=1530$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$16x+2y=1530$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

Për ta bërë 16x të barabartë me 817x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 817 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 16.

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

Thjeshto.

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

Zbrit 13072x+1760y=1243440 nga 13072x+1634y=1250010 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

Mblidh 13072x me -13072x. Shprehjet 13072x dhe -13072x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

Mblidh 1634y me -1760y.

$$-126y=1250010-1243440$$

Mblidh 1250010 me -1243440.

$$-126y=6570$$

Pjesëto të dyja anët me -126.

$$y=-\frac{365}{7}$$

Zëvendëso y me -\frac{365}{7} në 817x+110y=77715. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

Shumëzo 110 herë -\frac{365}{7}.

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

Mblidh \frac{40150}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$817x=\frac{584155}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 817.

$$x=\frac{715}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$