Zgjidh {l}{13x=y}{65x+2y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 13 x = y } \\ { 65 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

$$y = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$13x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$13x-y=0$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$13x=y$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$x=\frac{1}{13}y$$

Zëvendëso x me \frac{y}{13} në ekuacionin tjetër, 65x+2y=13.

$$65\times \frac{1}{13}y+2y=13$$

Shumëzo 65 herë \frac{y}{13}.

$$5y+2y=13$$

Mblidh 5y me 2y.

$$7y=13$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$y=\frac{13}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{13}{7} në x=\frac{1}{13}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{13}\times \frac{13}{7}$$

Shumëzo \frac{1}{13} herë \frac{13}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$13x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13\times 2-\left(-65\right)}&-\frac{-1}{13\times 2-\left(-65\right)}\\-\frac{65}{13\times 2-\left(-65\right)}&\frac{13}{13\times 2-\left(-65\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{91}&\frac{1}{91}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{91}\times 13\\\frac{1}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$13x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

Për ta bërë 13x të barabartë me 65x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 65 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 13.

$$65\times 13x+65\left(-1\right)y=0,13\times 65x+13\times 2y=13\times 13$$

Thjeshto.

$$845x-65y=0,845x+26y=169$$

Zbrit 845x+26y=169 nga 845x-65y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$845x-845x-65y-26y=-169$$

Mblidh 845x me -845x. Shprehjet 845x dhe -845x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-65y-26y=-169$$

Mblidh -65y me -26y.

$$-91y=-169$$

Pjesëto të dyja anët me -91.

$$y=\frac{13}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{13}{7} në 65x+2y=13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$65x+2\times \frac{13}{7}=13$$

Shumëzo 2 herë \frac{13}{7}.

$$65x+\frac{26}{7}=13$$

Zbrit \frac{26}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$65x=\frac{65}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 65.

$$x=\frac{1}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$