Zgjidh {l}{120x+100y=39000}{18x+20y=6600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 120 x + 100 y = 39000 } \\ { 18 x + 20 y = 6600 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=200$$

$$y=150$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$120x+100y=39000,18x+20y=6600$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$120x+100y=39000$$

Zbrit 100y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$120x=-100y+39000$$

Pjesëto të dyja anët me 120.

$$x=\frac{1}{120}\left(-100y+39000\right)$$

Shumëzo \frac{1}{120} herë -100y+39000.

$$x=-\frac{5}{6}y+325$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{6}+325 në ekuacionin tjetër, 18x+20y=6600.

$$18\left(-\frac{5}{6}y+325\right)+20y=6600$$

Shumëzo 18 herë -\frac{5y}{6}+325.

$$-15y+5850+20y=6600$$

Mblidh -15y me 20y.

$$5y+5850=6600$$

Zbrit 5850 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=750$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=150$$

Zëvendëso y me 150 në x=-\frac{5}{6}y+325. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{6}\times 150+325$$

Shumëzo -\frac{5}{6} herë 150.

$$x=-125+325$$

Mblidh 325 me -125.

$$x=200$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=200,y=150$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$120x+100y=39000,18x+20y=6600$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&100\\18&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{120\times 20-100\times 18}&-\frac{100}{120\times 20-100\times 18}\\-\frac{18}{120\times 20-100\times 18}&\frac{120}{120\times 20-100\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{6}\\-\frac{3}{100}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39000\\6600\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 39000-\frac{1}{6}\times 6600\\-\frac{3}{100}\times 39000+\frac{1}{5}\times 6600\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\150\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=200,y=150$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$120x+100y=39000,18x+20y=6600$$

Për ta bërë 120x të barabartë me 18x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 18 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 120.

$$18\times 120x+18\times 100y=18\times 39000,120\times 18x+120\times 20y=120\times 6600$$

Thjeshto.

$$2160x+1800y=702000,2160x+2400y=792000$$

Zbrit 2160x+2400y=792000 nga 2160x+1800y=702000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2160x-2160x+1800y-2400y=702000-792000$$

Mblidh 2160x me -2160x. Shprehjet 2160x dhe -2160x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$1800y-2400y=702000-792000$$

Mblidh 1800y me -2400y.

$$-600y=702000-792000$$

Mblidh 702000 me -792000.

$$-600y=-90000$$

Pjesëto të dyja anët me -600.

$$y=150$$

Zëvendëso y me 150 në 18x+20y=6600. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$18x+20\times 150=6600$$

Shumëzo 20 herë 150.

$$18x+3000=6600$$

Zbrit 3000 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=3600$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=200$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=200,y=150$$