Zgjidh {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$11x+19y=25$$

Zbrit 19y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=-19y+25$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Shumëzo \frac{1}{11} herë -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Zëvendëso x me \frac{-19y+25}{11} në ekuacionin tjetër, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Shumëzo 19 herë \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Mblidh -\frac{361y}{11} me 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Zbrit \frac{475}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{240}{11}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{31}{24}$$

Zëvendëso y me \frac{31}{24} në x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Shumëzo -\frac{19}{11} herë \frac{31}{24} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Mblidh \frac{25}{11} me -\frac{589}{264} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Për ta bërë 11x të barabartë me 19x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 19 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Thjeshto.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Zbrit 209x+121y=165 nga 209x+361y=475 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Mblidh 209x me -209x. Shprehjet 209x dhe -209x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$361y-121y=475-165$$

Mblidh 361y me -121y.

$$240y=475-165$$

Mblidh 475 me -165.

$$240y=310$$

Pjesëto të dyja anët me 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Zëvendëso y me \frac{31}{24} në 19x+11y=15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Shumëzo 11 herë \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Zbrit \frac{341}{24} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$