Zgjidh {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$10x+y-6y=5$$

Kombino y dhe -6y për të marrë -5y.

$$10x-5y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y+27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=27$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$10x-5y=5$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$10x=5y+5$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{10} herë 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{1+y}{2} në ekuacionin tjetër, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Shumëzo -9 herë \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Mblidh -\frac{9y}{2} me 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Mblidh \frac{9}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{9}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=7$$

Zëvendëso y me 7 në x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me \frac{7}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=7$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$10x+y-6y=5$$

Kombino y dhe -6y për të marrë -5y.

$$10x-5y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y+27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=27$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=7$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$10x+y-6y=5$$

Kombino y dhe -6y për të marrë -5y.

$$10x-5y=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$10y+x-10x=y+27$$

Kombino x dhe -10x për të marrë -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$10y-9x-y=27$$

Kombino 10y dhe -y për të marrë 9y.

$$9y-9x=27$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Për ta bërë 10x të barabartë me -9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Thjeshto.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Zbrit -90x+90y=270 nga -90x+45y=-45 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Mblidh -90x me 90x. Shprehjet -90x dhe 90x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$45y-90y=-45-270$$

Mblidh 45y me -90y.

$$-45y=-45-270$$

Mblidh -45 me -270.

$$-45y=-315$$

Pjesëto të dyja anët me -45.

$$y=7$$

Zëvendëso y me 7 në -9x+9y=27. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-9x+9\times 7=27$$

Shumëzo 9 herë 7.

$$-9x+63=27$$

Zbrit 63 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-9x=-36$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=7$$