Zgjidh {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$10x+5y=170$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$10x=-5y+170$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Shumëzo \frac{1}{10} herë -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{2}+17 në ekuacionin tjetër, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Shumëzo 6 herë -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Mblidh -3y me 10y.

$$7y+102=200$$

Zbrit 102 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7y=98$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$y=14$$

Zëvendëso y me 14 në x=-\frac{1}{2}y+17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 14.

$$x=-7+17$$

Mblidh 17 me -7.

$$x=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=14$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=10,y=14$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Për ta bërë 10x të barabartë me 6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Thjeshto.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Zbrit 60x+100y=2000 nga 60x+30y=1020 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Mblidh 60x me -60x. Shprehjet 60x dhe -60x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$30y-100y=1020-2000$$

Mblidh 30y me -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Mblidh 1020 me -2000.

$$-70y=-980$$

Pjesëto të dyja anët me -70.

$$y=14$$

Zëvendëso y me 14 në 6x+10y=200. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$6x+10\times 14=200$$

Shumëzo 10 herë 14.

$$6x+140=200$$

Zbrit 140 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=60$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=14$$