Zgjidh {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2y nga të dyja anët.

$$0.9x-0.2y=19$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$0.3x-0.5y=29$$

Mblidh \frac{y}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.3x=0.5y+29$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.3, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

Shumëzo \frac{10}{3} herë \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{5y+290}{3} në ekuacionin tjetër, 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

Shumëzo 0.9 herë \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

Mblidh \frac{3y}{2} me -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

Zbrit 87 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$1.3y=-68$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 1.3, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{680}{13} në x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

Shumëzo \frac{5}{3} herë -\frac{680}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

Mblidh \frac{290}{3} me -\frac{3400}{39} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{370}{39}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2y nga të dyja anët.

$$0.9x-0.2y=19$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 0.2y nga të dyja anët.

$$0.9x-0.2y=19$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Për ta bërë \frac{3x}{10} të barabartë me \frac{9x}{10}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 0.9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

Thjeshto.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

Zbrit 0.27x-0.06y=5.7 nga 0.27x-0.45y=26.1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Mblidh \frac{27x}{100} me -\frac{27x}{100}. Shprehjet \frac{27x}{100} dhe -\frac{27x}{100} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Mblidh -\frac{9y}{20} me \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

Mblidh 26.1 me -5.7 duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-0.39y=20.4$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -0.39, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Zëvendëso y me -\frac{680}{13} në 0.9x-0.2y=19. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

Shumëzo -0.2 herë -\frac{680}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

Zbrit \frac{136}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.9, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=\frac{370}{39}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$