Zgjidh {l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-0,6$$

$$y=-3,2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0,3 me 2y+1.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Shto 0,3 në të dyja anët.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Shto 1,5 dhe 0,3 për të marrë 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$3x+3+y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x+y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$3x+y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Mblidh \frac{3y}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$0,2x=0,6y+1,8$$

Shumëzo të dyja anët me 5.

$$x=5\left(0,6y+1,8\right)$$

Shumëzo 5 herë \frac{3y+9}{5}.

$$x=3y+9$$

Zëvendëso x me 9+3y në ekuacionin tjetër, 3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

Shumëzo 3 herë 9+3y.

$$9y+27+y=-5$$

Mblidh 9y me y.

$$10y+27=-5$$

Zbrit 27 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$10y=-32$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Zëvendëso y me -\frac{16}{5} në x=3y+9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

Shumëzo 3 herë -\frac{16}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

Mblidh 9 me -\frac{48}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0,3 me 2y+1.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Shto 0,3 në të dyja anët.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Shto 1,5 dhe 0,3 për të marrë 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$3x+3+y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x+y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$3x+y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,2&-0,6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&-\frac{-0,6}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}&\frac{0,2}{0,2-\left(-0,6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1,8\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1,8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1,8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0,3 me 2y+1.

$$0,2x-0,6y-0,3=1,5$$

Shto 0,3 në të dyja anët.

$$0,2x-0,6y=1,5+0,3$$

Shto 1,5 dhe 0,3 për të marrë 1,8.

$$0,2x-0,6y=1,8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3+3y=2y-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$3x+3+y=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x+y=-2-3$$

Zbrit 3 nga -2 për të marrë -5.

$$3x+y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$0,2x-0,6y=1,8;3x+y=-5$$

Për ta bërë \frac{x}{5} të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 0,2.

$$3\times 0,2x+3\left(-0,6\right)y=3\times 1,8;0,2\times 3x+0,2y=0,2\left(-5\right)$$

Thjeshto.

$$0,6x-1,8y=5,4;0,6x+0,2y=-1$$

Zbrit 0,6x+0,2y=-1 nga 0,6x-1,8y=5,4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$0,6x-0,6x-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Mblidh \frac{3x}{5} me -\frac{3x}{5}. Shprehjet \frac{3x}{5} dhe -\frac{3x}{5} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-1,8y-0,2y=5,4+1$$

Mblidh -\frac{9y}{5} me -\frac{y}{5}.

$$-2y=5,4+1$$

Mblidh 5,4 me 1.

$$-2y=6,4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-\frac{16}{5}$$

Zëvendëso y me -\frac{16}{5} në 3x+y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

Mblidh \frac{16}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3}{5};y=-\frac{16}{5}$$